Question

14．社區(qū)服務(wù)是綜合實踐活動課程的重要內(nèi)容．上海市教育部門在全市高中學(xué)生中隨機抽取200位學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù)，按時間段[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）（單位：小時）進行統(tǒng)計，其頻率分布直方圖如圖所示．
（Ⅰ）求抽取的200位學(xué)生中，參加社區(qū)服務(wù)時間不少于80小時的學(xué)生人數(shù)，并估計從全市高中學(xué)生中任意選取一人，其參加社區(qū)服務(wù)時間不少于80小時的概率；
（Ⅱ）從全市高中學(xué)生中任意選取3位學(xué)生，記ξ為3名學(xué)生中參加社區(qū)服務(wù)時間不少于80小時的人數(shù)，試求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ和方差Dξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，抽取的200位學(xué)生中，參加社區(qū)服務(wù)時間不少于80小時的學(xué)生人數(shù)為80人，由此能求出從全市高中學(xué)生中任意選取一人，其參加社區(qū)服務(wù)時間不少于80小時的概率．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知從全市高中生中任意選取1人，其參加社區(qū)服務(wù)時間不少于80小時的概率為$\frac{2}{5}$，由已知得隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3，且ξ～B（3，$\frac{2}{5}$），由此能求出隨機變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ和方差Dξ．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，參加社區(qū)服務(wù)在時間段[80，85）的學(xué)生人數(shù)為200×0.06×5=60（人），
參加社區(qū)服務(wù)在時間段[85，90）的學(xué)生人數(shù)為200×0.02×5=20（人），
∴抽取的200位學(xué)生中，參加社區(qū)服務(wù)時間不少于80小時的學(xué)生人數(shù)為80人，
∴從全市高中學(xué)生中任意選取一人，其參加社區(qū)服務(wù)時間不少于80小時的概率為：
p=$\frac{80}{200}$=$\frac{2}{5}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知從全市高中生中任意選取1人，其參加社區(qū)服務(wù)時間不少于80小時的概率為$\frac{2}{5}$，
由已知得隨機變量ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{2}{5}）^{0}（\frac{3}{5}）^{3}$=$\frac{27}{125}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{5}）（\frac{3}{5}）^{2}$=$\frac{54}{125}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}（\frac{3}{5}）=\frac{36}{125}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{5}）^{3}（\frac{3}{5}）^{0}$=$\frac{8}{125}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

∵ξ～B（3，$\frac{2}{5}$），
∴Eξ=3×$\frac{2}{5}$=$\frac{6}{5}$，
Dξ=$3×\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{18}{25}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．