Question

19．在直角△ABC中，$∠A=\frac{π}{2}$，AB=1，AC=2，M是△ABC內(nèi)一點，且$AM=\frac{1}{2}$，若$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，則λ+2μ的最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 建立平面直角坐標系，則A（0，0），B（0，1），C（2，0），M（$\frac{1}{2}cosθ$，$\frac{1}{2}sinθ$），（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），由已知可得$λ=\frac{1}{2}sinθ，2μ=\frac{1}{2}cosθ$，則λ+2μ=$\frac{1}{2}（sinθ+cosθ）=\frac{\sqrt{2}}{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，即可求解．

解答 解：如圖建立平面直角坐標系，則A（0，0），B（0，1），C（2，0）
M（$\frac{1}{2}cosθ$，$\frac{1}{2}sinθ$）（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），
∵$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，∴（$（\frac{1}{2}cosθ，\frac{1}{2}sinθ）=λ（0，1）+μ（2，0）$．
∴$λ=\frac{1}{2}sinθ，2μ=\frac{1}{2}cosθ$，
則λ+2μ=$\frac{1}{2}（sinθ+cosθ）=\frac{\sqrt{2}}{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，
∴當θ=$\frac{π}{4}$時，λ+2μ最大值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$

點評 本題考查向量的線性運算，平面向量的基本定理及其意義，建立坐標系，利用坐標運算，是一種常見的處理技巧，屬于中檔題．