Question

6．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足$\frac{1}{2}$a₃是3a₁與2a₂的等差中項(xiàng)，且a₁a₂=a₃．
（ I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（ II）設(shè)b_n=log₃a_n，且S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求數(shù)列{${\frac{{1+2{S_n}}}{S_n}$}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的定義和等差中項(xiàng)即可求出{a_n}的通項(xiàng)公式，
（Ⅱ）根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)得到b_n=log₃a_n=n，再根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)公式得到Sn，代入到${\frac{{1+2{S_n}}}{S_n}$，裂項(xiàng)求和即可．

解答 解：（I）設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意知q＞0，且3a₁+2a₂=a₃，a₁a₂=a₃．
∴$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+2{a}_{1}q={a}_{1}{q}^{2}}\\{{{a}_{1}}^{2}q={a}_{1}{q}^{2}}\end{array}\right.$
解得a₁=q=3，故a_n=3ⁿ，
（Ⅱ）b_n=log₃a_n=n，
∴Sn=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴${\frac{{1+2{S_n}}}{S_n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$+2=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）+2，
故數(shù)列{${\frac{{1+2{S_n}}}{S_n}$}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n=2[（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）]+2n=2（1-$\frac{1}{n+1}$）+2n=$\frac{2{n}^{2}+4n}{n+1}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和裂項(xiàng)求和，屬于中檔題．