Question

16．己知四棱錐P-ABCD底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)
（1）證明：面PDF⊥面PAF．
（2）PA=2，求三棱錐P-ADF外接球的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知可得AF=$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{2}$，則有DF²+AF²=AD²，則DF⊥AF．再由PA⊥平面ABCD，得DF⊥PA．由線面垂直的判定得DF⊥平面PAF，進(jìn)一步得面PDF⊥面PAF．
（2）取PD的中點(diǎn)O，連接AO，F(xiàn)O，由PA=2，結(jié)合（1）可得OA=OP=OD=OF，則O為球心，解直角三角形求出三棱錐P-ADF外接球的半徑，代入體積公式得答案．

解答 （1）證明：∵AD=2，AB=1，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，
∴AF=$\sqrt{2}$，DE=$\sqrt{2}$，
又AD=2，∴DF²+AF²=AD²，則DF⊥AF．
又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA．
又PA∩AF=A，∴DF⊥平面PAF．
∵DF?面PDF，∴面PDF⊥面PAF；
（2）解：取PD的中點(diǎn)O，連接AO，F(xiàn)O，
由（1）知DF⊥PF，在Rt△PAD與Rt△PFD中，有OA=OP=OD=OF，
∴O為球心．
∵PA=2，AD=2，PD=$2\sqrt{2}$，∴球半徑R=$\sqrt{2}$，
∴三棱錐P-ADF外接球的體積V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}=\frac{8\sqrt{2}}{3}π$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了棱錐外接球體積的求法，屬中檔題．