Question

14．在三角形△ABC中，bsinA=$\sqrt{3}$acosB，則B=$\frac{π}{3}$；若b=2$\sqrt{2}$，則△ABC面積最大值為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 使用正弦定理和已知條件得出tanB，利用余弦定理和基本不等式得出ac的最大值，代入面積公式即可．

解答 解：在△ABC中，∵bsinA=$\sqrt{3}$acosB，∴$\frac{a}{sinA}=\frac{\sqrt{3}cosB}$．
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，∴sinB=$\sqrt{3}cosB$．
∴tanB=$\sqrt{3}$．∴B=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-8}{2ac}=\frac{1}{2}$．
∴a²+c²=8+ac≥2ac．
∴ac≤8．
∴S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{\sqrt{3}}{4}ac$≤2$\sqrt{3}$．
故答案為$\frac{π}{3}$，2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了利用正余弦定理解三角形，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．