Question

1．一個正三棱錐（底面為正三角形，頂點在底面上的射影為底面的中心）的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在過該球球心的一個截面上，則該正三棱錐的體積是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{12}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• D． $\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$

Answer 1

分析 作棱錐的高OP，則OP=OC=1，利用等邊三角形的性質(zhì)求出底面邊長，從而得出棱錐的體積．

解答 解設(shè)正三棱錐底面中心為O，連接OP，延長CO交AB于D，則CD=$\frac{3}{2}$OC．
∵O是三棱錐P-ABC的外接球球心，
∴OP=OC=1，
∴CD=$\frac{3}{2}$，∴BC=$\sqrt{3}$．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•OP$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（\sqrt{3}）^{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故選：B．

點評 本題考查了棱錐與外接球的關(guān)系，棱錐的體積計算，屬于中檔題．