Question

已知等差數(shù)列{a_n}中公差不為0，a₁=1，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列
（1）求公差；
（2）求數(shù)列{n2an}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意可得a₃²=a₁•a₉=a₉，從而建立關(guān)于公差d的方程，解方程可求d；
（2）利用裂項(xiàng)法求和，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題設(shè)知公差d≠0，
由a₁=1，a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列得

1+2d

1

=

1+8d

1+2d

，
解得d=1，d=0（舍去）；
（2）{a_n}的通項(xiàng)a_n=1+（n-1）×1=n．
S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
∴2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹，
∴-S_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹，
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)法求和，屬于基本公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用．