Question

10．已知拋物線C：y²=8x與直線y=k（x+2）（k＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，則k=（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{2}}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)直線方程可知直線恒過定點(diǎn)，如圖過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根據(jù)|FA|=2|FB|，推斷出|AM|=2|BN|，點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)、連接OB，可知|OB|=$\frac{1}{2}$|AF|，推斷出|OB|=|BF|，進(jìn)而求得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)可得，最后利用直線上的兩點(diǎn)求得直線的斜率．

解答 解：設(shè)拋物線C：y²=8x的準(zhǔn)線為l：x=-2
直線y=k（x+2）恒過定點(diǎn)P（-2，0）
如圖過A、B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，
由|FA|=2|FB|，則|AM|=2|BN|，
點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)、連接OB，
則|OB|=$\frac{1}{2}$|AF|，
又∵|FA|=2|FB|，
∴|OB|=|BF|，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，
∵k＞0，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，2$\sqrt{2}$），
∴k=$\frac{2\sqrt{2}-0}{1-（-2）}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．