分析 (Ⅰ)方法一:由A∈(0,π)可得$A-\frac{π}{6}∈(-\frac{π}{6},\frac{5π}{6})$,利用$tan(A-\frac{π}{6})=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$,即可得出.
方法二:利用$tanA=tan[(A-\frac{π}{6})+\frac{π}{6}]=\frac{{tan(A-\frac{π}{6})+tan\frac{π}{6}}}{{1-tan(A-\frac{π}{6})tan\frac{π}{6}}}$,即可得出.
(Ⅱ)方法一:由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA,可得c,即可得出三角形面積計(jì)算公式.
方法二:由正弦定理得$\frac{{\sqrt{7}}}{{sin\frac{π}{3}}}=\frac{2}{sinB}$,從而$sinB=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$,可得cosB.可得sinC=sin(A+B),利用三角形面積計(jì)算公式即可得出.
解答 解:(Ⅰ)方法一:∵A∈(0,π)∴$A-\frac{π}{6}∈(-\frac{π}{6},\frac{5π}{6})$…(3分)
由$tan(A-\frac{π}{6})=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$得$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$,因此$A=\frac{π}{3}$…(6分)
方法二:$tanA=tan[(A-\frac{π}{6})+\frac{π}{6}]=\frac{{tan(A-\frac{π}{6})+tan\frac{π}{6}}}{{1-tan(A-\frac{π}{6})tan\frac{π}{6}}}$…(2分)=$\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{3}+\frac{{\sqrt{3}}}{3}}}{{1-\frac{{\sqrt{3}}}{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{3}}}=\sqrt{3}$…(4分)
由于0<A<π,所以$A=\frac{π}{3}$…(6分)
(Ⅱ)方法一:由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA…(8分)
而$a=\sqrt{7},b=2$,$A=\frac{π}{3}$
得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0
因?yàn)閏>0,所以c=3…(10分)
故△ABC的面積$s=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$…(12分)
方法二:由正弦定理得$\frac{{\sqrt{7}}}{{sin\frac{π}{3}}}=\frac{2}{sinB}$從而$sinB=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$
又由a>b,知A>B,所以B為銳角,$cosB=\frac{{2\sqrt{7}}}{7}$…(8分)
故$sinC=sin(A+B)=sin(\frac{π}{3}+B)=sin\frac{π}{3}cosB+cos\frac{π}{3}sinB=\frac{{3\sqrt{21}}}{14}$…(10分)
所以$s=\frac{1}{2}absinC=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$…(12分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形面積計(jì)算公式、正弦定理余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、和差公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.
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