Question

13．已知命題p：關于x的不等式a^x＞1（a＞0，a≠1）的解集是{x|x＜0}，命題q：函數y=lg（ax²-x+a）的定義域為R．
（1）如果p∧q為真命題，求實數a的取值范圍；
（2）如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）如果p∧q為真命題，則p和q都為真，進而可得實數a的取值范圍；
（2）如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，則p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，進而可得實數a的取值范圍；

解答 解：由關于x的不等式a^x＞1（a＞0，a≠1）的解集是{x|x＜0}，
知0＜a＜1，
由函數y=lg（ax²-x+a）的定義域為R，知不等式ax²-x+a＞0的解集為R，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-4{a}^{2}＜0}\end{array}\right.$，
解得a＞$\frac{1}{2}$．
（1）如果p∧q為真命題，則p和q都為真，
所以實數a的取值范圍是（$\frac{1}{2}$，1）．
（2）因為p∨q為真命題，p∧q為假命題，
所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，
故$\left\{\begin{array}{l}{a≤0，或\\;a≥1}\\{a≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得a∈（0，$\frac{1}{2}$]∪[1，+∞）

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了復合命題，函數恒成立問題，對數函數的圖象和性質，難度中檔．