Question

如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點(diǎn)，且BC•AE=DC•AF，B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓．
（Ⅰ）證明：CA是△ABC外接圓的直徑；
（Ⅱ）若DB=BE=EA，求過B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：立體幾何

分析：（I）由已知與圓的切線的性質(zhì)可得△CDB∽△AEF，∠DBC=∠EFA．利用B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，可得∠CFE=∠DBC，∠EFA=∠CFE=90°，即可證明．
（II）連接CE，由于∠CBE=90°，可得過B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的直徑為CE，由DB=BE，有CE=DC，又BC²DB•BA=2DB²，可得CA²=4DB²+BC²=6DB²，而DC²=DB•DA=3DB²，即可得出．

解答： （I）證明：∵CD為△ABC外接圓的切線，
∴∠BCB=∠A，由題設(shè)知：

BC

FA

=

DC

EA

，
故△CDB∽△AEF，∴∠DBC=∠EFA．
∵B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)共圓，
∴∠CFE=∠DBC，故∠EFA=∠CFE=90°
∴∠CBA=90°，因此CA是△ABC外接圓的直徑．
（2）解：連接CE，
∵∠CBE=90°，
∴過B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的直徑為CE，
由DB=BE，有CE=DC，
又BC²DB•BA=2DB²，∴CA²=4DB²+BC²=6DB²，
而DC²=DB•DA=3DB²，
故B，E，F(xiàn)，C四點(diǎn)的圓的面積與△ABC的外接圓面積的比值為

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓的性質(zhì)、勾股定理、圓的面積與三角形的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．