Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-

2

f(x)

（f（x）≠0），且在區(qū)間（2013，2014）上單調(diào)遞增．已知α、β是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，則f（sinα），f（cosβ）的大小關(guān)系是（　�。�

• A、f（sinα）＜f（cosβ）
• B、f（sinα）＞f（cosβ）
• C、f（sinα）=f（cosβ）
• D、以上情況均有可能

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)條件判斷函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系，進(jìn)行判斷即可．

解答： 解：由f（x+1）=-

2

f(x)

得f（x+2）=-

2

f(x+1)

=-

2

- 2 f(x)

=f（x），
則函數(shù)f（x）是周期為2的周期函數(shù)，
∵在區(qū)間（2013，2014）上單調(diào)遞增，
∴在區(qū)間（-1，0）上單調(diào)遞增，
∵f（x）是偶函數(shù)，∴在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，
在銳角三角形中，π-α-β＜

π

2

，
∴α+β＞

π

2

，即

π

2

＞α＞

π

2

-β＞0，
∴sinα＞sin(

π

2

-β)=cosβ，
cosα＜cos（

π

2

-β）=sinβ，
則f（sinα）＜f（cosβ），
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多．