【題目】已知,函數(shù)

(1)當時,求函數(shù)上的最值;

(2)若函數(shù)上單調(diào)遞增,求的取值范圍.

【答案】(1)見解析;(2)a .

【解析】

(1) 當a=2時,求得函數(shù)的導數(shù),利用導數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性,即可求解函數(shù)的最值;

(2)根據(jù)函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增,轉(zhuǎn)化為在(-1,1)上恒成立,再利用分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題,即可求解.

(1) 當a=2時,f(x)=(-x2+2x)ex,f′(x)=(-x2+2)ex.

令f′(x)=0,則x=-或x=

當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:

x

0

(0, )

(,2)

2

f′(x)

+

0

-

f(x)

f(0)=0

極大值f()

f(2)=0

所以,f(x)max= f()=(-2+2),f(x)min= f(0)=0.

(2)因為函數(shù)f(x)在(-1,1)上單調(diào)遞增,所以f′(x)≥0在(-1,1)上恒成立.

又f′(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex,即[-x2+(a-2)x+a]ex≥0,注意到ex>0,

因此-x2+(a-2)x+a≥0在(-1,1)上恒成立,

也就是a≥=x+1-在(-1,1)上恒成立.

設(shè)y=x+1-,則y′=1+>0,

即y=x+1-在(-1,1)上單調(diào)遞增,

則y<1+1-,故a≥.

練習冊系列答案
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【題目】在平面直角坐標系中,圓,,,為平面內(nèi)一動點,若以線段為直徑的圓與圓相切.

(1)證明為定值,并寫出點的軌跡方程;

(2)設(shè)點的軌跡為曲線,直線兩點,過且與垂直的直線與交于,兩點,求四邊形面積的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù),且).

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(Ⅱ)求函數(shù)上的最大值.

【答案】(Ⅰ)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.(Ⅱ)當時, ;當時, .

【解析】試題分析】(I)利用的二階導數(shù)來研究求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(II) 由(Ⅰ)得上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,由此可知.利用導數(shù)和對分類討論求得函數(shù)在不同取值時的最大值.

試題解析】

(Ⅰ)

設(shè) ,則.

,∴上單調(diào)遞增,

從而得上單調(diào)遞增,又∵,

∴當時, ,當時, ,

因此, 的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,

由此可知.

, ,

.

設(shè),

.

∵當時, ,∴上單調(diào)遞增.

又∵,∴當時, ;當時, .

①當時, ,即,這時,

②當時, ,即,這時, .

綜上, 上的最大值為:當時, ;

時, .

[點睛]本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,考查利用導數(shù)求最大值. 與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題,往往利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點,并結(jié)合特殊點,從而判斷函數(shù)的大致圖像,討論其圖象與軸的位置關(guān)系,進而確定參數(shù)的取值范圍;或通過對方程等價變形轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題.

型】解答
結(jié)束】
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【題目】選修4-4:坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中,圓的普通方程為. 在以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸的極坐標系中,直線的極坐標方程為 .

(Ⅰ) 寫出圓 的參數(shù)方程和直線的直角坐標方程;

( Ⅱ ) 設(shè)直線軸和軸的交點分別為,為圓上的任意一點,求的取值范圍.

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【題目】將一個總體的100個個體編號為01,2,99,并依次將其分為10個組,組號為01,2,9.要用系統(tǒng)抽樣法抽取一個容量為10的樣本,如果在第0(號碼為0—9)隨機抽取的號碼為2,則抽取的10個號碼為______________.

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【題目】為建立健全國家學生體質(zhì)健康監(jiān)測評價機制,激勵學生積極參加身體鍛煉,教育部印發(fā)《國家學生體質(zhì)健康標準(2014年修訂)》,要求各學校每學期開展覆蓋本校各年級學生的《標準》測試工作,并根據(jù)學生每個學期總分評定等級.某校決定針對高中學生,每學期進行一次體質(zhì)健康測試,以下是小明同學六個學期體質(zhì)健康測試的總分情況.

學期

1

2

3

4

5

6

總分(分)

512

518

523

528

534

535

(1)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用相關(guān)系數(shù)說明的線性相關(guān)程度,并用最小二乘法求出關(guān)于的線性回歸方程(線性相關(guān)系數(shù)保留兩位小數(shù));

(2)在第六個學期測試中學校根據(jù) 《標準》,劃定540分以上為優(yōu)秀等級,已知小明所在的學習小組10個同學有6個被評定為優(yōu)秀,測試后同學們都知道了自己的總分但不知道別人的總分,小明隨機的給小組內(nèi)4個同學打電話詢問對方成績,優(yōu)秀的同學有人,求的分布列和期望.

參考公式: ,;

相關(guān)系數(shù);

參考數(shù)據(jù):,.

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【題目】已知函數(shù)

的定義域為R,求a的取值范圍;

,求的單調(diào)區(qū)間;

是否存在實數(shù)a,使上為增函數(shù)?若存在,求出a的范圍;若不存在,說明理由.

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【題目】已知冪函數(shù)f(x)=,其中2<m<2,m∈Z,滿足:

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(Ⅱ)經(jīng)過點且斜率為的直線交橢圓于 兩點.在軸上是否存在定點,使得恒成立?若存在,求出點坐標;若不存在,說明理由.

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【題目】假定小麥基本苗數(shù)與成熟期有效穗之間存在相關(guān)關(guān)系,今測得5組數(shù)據(jù)如下:

(1)以為解釋變量,為預報變量,畫出散點圖

(2)求之間的回歸方程

(3)當基本苗數(shù)為時預報有效穗(注:, ,,

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