Question

【題目】已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為的橢圓過(guò)點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與該橢圓交于兩點(diǎn)，滿(mǎn)足直線(xiàn)的斜率依次成等比數(shù)列，求面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）設(shè)出橢圓的方程，將已知點(diǎn)代入橢圓的方程及利用橢圓的離心率公式得到關(guān)于橢圓的三個(gè)參數(shù)的等式，解方程組求出a，b，c的值，代入橢圓方程即可．

（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的二次方程，利用韋達(dá)定理得到關(guān)于兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，將直線(xiàn)OP，PQ，OQ的斜率用坐標(biāo)表示，據(jù)已知三個(gè)斜率成等比數(shù)列，列出方程，將韋達(dá)定理得到的等式代入，求出k的值，利用判別式大于0得到m的范圍，將△OPQ面積用m表示，求出面積的范圍．

試題解析：

(1)根據(jù)題意可設(shè)橢圓方程為,則

則故，所以,橢圓方程為.

(2)根據(jù)題意可以知道,直線(xiàn)l的斜率存在且不為0,

故可設(shè)直線(xiàn)l的方程為,,,

由消去y得

,

則,

且,.

故.

因?yàn)橹本�(xiàn)OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列,

所以,

即,又,所以,即.

因?yàn)橹本�(xiàn)OP,OQ的斜率存在,且,得

且.設(shè)d為點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離,

則,

所以的取值范圍為.