Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在R上單調(diào)遞增；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)曲線在點(diǎn)處的切線斜率為1，可求出參數(shù)的值，再對(duì)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行分類討論，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）由，構(gòu)造輔助函數(shù)，再對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)，討論的取值范圍，利用函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最值，進(jìn)而確定的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）∵∴∴，

∴，記∴，

當(dāng)x<0時(shí)， 單減；

當(dāng)x>0時(shí)，單增，

∴，

故恒成立，所以在上單調(diào)遞增．

（Ⅱ）∵，令∴，

當(dāng)時(shí)，∴在上單增，∴．

i）當(dāng)即時(shí)，恒成立，即∴在上單增，

∴，所以．

ii）當(dāng)即時(shí)，∵在上單增，且，

當(dāng)時(shí)，，

∴使，即．

當(dāng)時(shí)，，即單減；

當(dāng)時(shí)，，即單增．

∴，

∴，由∴．

記，

∴∴在上單調(diào)遞增，

∴∴．

綜上，．