Question

6．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)a=2，P為該正方體的內(nèi)切球的表面上的動(dòng)點(diǎn)，且始終有AP⊥A₁C，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}π}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{6}π}}{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{3}π}}{3}$
• D． $\frac{{2\sqrt{6}π}}{3}$

Answer 1

分析 注意到P為該正方體的內(nèi)切球的表面上的動(dòng)點(diǎn)，且始終有AP⊥A₁C，點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)A且于A₁C垂直的平面與球的交線上，求出截面圓的半徑，從而求周長(zhǎng)．

解答 解：∵P為該正方體的內(nèi)切球的表面上的動(dòng)點(diǎn)，且始終有AP⊥A₁C，
∴點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)A且于A₁C垂直的平面與球的交線上，
設(shè)截面圓的圓心為O′，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長(zhǎng)a=2，
∴A₁C=$\sqrt{3}$a，
由射影定理可得4=A₁O′•2$\sqrt{3}$，
∴A₁O′=$\frac{2}{\sqrt{3}}$
又∵內(nèi)切球的半徑為1，A₁O=$\sqrt{3}$，
∴O′P=$\sqrt{1-\frac{1}{3}}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}$，
∴點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為2π•$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\frac{2\sqrt{6}π}{3}$，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了學(xué)生的空間想象力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定截面的形狀是關(guān)鍵，屬于中檔題．