Question

19．第二屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會將于2015年12月16日-18日在浙江烏鎮(zhèn)進行，屆時將有世界各國的互聯(lián)網(wǎng)精英云集于此共商世界互聯(lián)網(wǎng)的未來．現(xiàn)在人們的生活已經離不開互聯(lián)網(wǎng)，網(wǎng)上購物已悄悄走進人們的生活，在剛剛過去的雙十一，有4位好友相約：每個人通過執(zhí)一枚質地均勻的骰子決定自己去哪家購物，擲出點數(shù)為5或6的人去淘寶購物，擲出點數(shù)小于5的人去京東商城購物，且參加者必須從淘寶網(wǎng)和京東商城選擇一家購物．
（1）求這4個人中恰有1人去淘寶網(wǎng)購物的概率；
（2）用ξ，η本別表示這4個人中去淘寶網(wǎng)和京東商城購物的人數(shù)，記X=ξη，求隨機變量X分分布列與數(shù)學期望EX．

Answer 1

分析 （1）設“這4個人中有i人去淘寶購物”為事件A_i（i=0，1，2，3，4），則P（A_i）=${C}_{4}^{i}（\frac{1}{3}）^{i}（\frac{2}{3}）^{4-i}$，（i=0，1，2，3，4）．由此能求出這4個人中恰有1人去淘寶網(wǎng)購物的概率．
（2）由題意X的可能取值為0，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）依題意，這4個人中，每個人去淘寶網(wǎng)的概率為$\frac{1}{3}$，
去京東商城購物的概率為$\frac{2}{3}$，
設“這4個人中有i人去淘寶購物”為事件A_i（i=0，1，2，3，4），
則P（A_i）=${C}_{4}^{i}（\frac{1}{3}）^{i}（\frac{2}{3}）^{4-i}$，（i=0，1，2，3，4）．
∴這4個人中恰有1人去淘寶網(wǎng)購物的概率：
P（A₁）=${C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$=$\frac{32}{81}$．
（2）由題意X的可能取值為0，3，4，
P（X=0）=P（A₀）+P（A₄）=${C}_{4}^{0}（\frac{2}{3}）^{4}+{C}_{4}^{4}（\frac{1}{3}）^{4}$=$\frac{17}{81}$，
P（X=3）=$P（{A}_{1}）+P（{A}_{3}）={C}_{4}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{3}$+${C}_{4}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}（\frac{2}{3}）$=$\frac{40}{81}$，
P（X=4）=P（A₂）=${C}_{4}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）^{2}$=$\frac{24}{81}$，
∴X的分布列為：

X	0	3	4
P	$\frac{17}{81}$	$\frac{40}{81}$	$\frac{24}{81}$

EX=$0×\frac{17}{81}+3×\frac{40}{81}+4×\frac{24}{81}$=$\frac{8}{3}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．