Question

已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)=

x

(x-a)
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)g（a）為f（x）在區(qū)間[0，2]上的最小值．
（i）寫出g（a）的表達(dá)式；
（ii）求a的取值范圍，使得-6≤g（a）≤-2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的定義域[0，+∞），求出f′（x），因為a為實數(shù)，討論a≤0，（x＞0）得到f′（x）＞0得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；若a＞0，令f'（x）=0，得到函數(shù)駐點(diǎn)討論x取值得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．
（Ⅱ）①討論若a≤0，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，所以g（a）=f（0）=0；若0＜a＜6，f（x）在[0，

a

3

]上單調(diào)遞減，在(

a

3

，2]上單調(diào)遞增，所以g(a)=f(

a

3

)=-

2a

3

a 3

；若a≥6，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，所以g(a)=f(2)=

2

(2-a)．得到g（a）為分段函數(shù)，寫出即可；②令-6≤g（a）≤-2，代到第一段上無解；若0＜a＜6，解得3≤a＜6；若a≥6，解得6≤a≤2+3

2

．則求出a的取值范圍即可．

解答：解；（Ⅰ）解：函數(shù)的定義域為[0，+∞），f′(x)=

x

+

x-a

2 x

=

3x-a

2 x

（x＞0）．
若a≤0，則f'（x）＞0，f（x）有單調(diào)遞增區(qū)間[0，+∞）．
若a＞0，令f'（x）=0，得x=

a

3

，當(dāng)0＜x＜

a

3

時，f'（x）＜0，
當(dāng)x＞

a

3

時，f'（x）＞0．f（x）有單調(diào)遞減區(qū)間[0，

a

3

]，單調(diào)遞增區(qū)間(

a

3

，+∞)．
（Ⅱ）解：（i）若a≤0，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞增，所以g（a）=f（0）=0．
若0＜a＜6，f（x）在[0，

a

3

]上單調(diào)遞減，在(

a

3

，2]上單調(diào)遞增，
所以g(a)=f(

a

3

)=-

2a

3

a 3

．若a≥6，f（x）在[0，2]上單調(diào)遞減，
所以g(a)=f(2)=

2

(2-a)．
綜上所述，g(a)=

0 a≤0 - 2a 3 a 3 0＜a＜6 2 (2-a) a≥6

改天
（ii）令-6≤g（a）≤-2．若a≤0，無解．若0＜a＜6，解得3≤a＜6．
若a≥6，解得6≤a≤2+3

2

．故a的取值范圍為3≤a≤2+3

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)、求導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，同時考查分類討論思想以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識分析問題和解決問題的能力．