【題目】已知點，在圓：上任取一點，的垂直平分線交于點.（如圖）.

（1）求點的軌跡方程；

（2）若過點的動直線與（1）中的軌跡相交于、兩點.問：平面內(nèi)是否存在異于點的定點，使得恒成立？試證明你的結(jié)論.

【答案】（1）

（2）存在，證明見解析

【解析】

（1）利用垂直平分線的性質(zhì)可得，從而得到點的軌跡是以，為焦點的橢圓；

（2）先考慮當(dāng)直線軸和直線軸的情況得到定點；再考慮對直線的一般情況都有點滿足題意.

（1）依題意得，，

故點的軌跡是以，為焦點的橢圓，

，，，

因此，所求的軌跡是橢圓：.

（2）當(dāng)直線軸時，由得知點在軸上，可設(shè).

當(dāng)直線軸時，，，由得

，或.

因此，若存在異于點的定點滿足題意，則點的坐標(biāo)為.

下面我們來證明：對任意直線均有.

當(dāng)直線的斜率不存在時，由上可知，結(jié)論成立.

當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)直線：，，.

把代入得，

由于點在橢圓的內(nèi)部，故判別式.所以

，，，

易知點關(guān)于軸的對稱點為，

而，

又，

所以，

即、、三點共線，

，

綜上知，存在異于點的定點滿足題意.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]

在直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若曲線與直線交于兩點，點，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某電力公司在工程招標(biāo)中是根據(jù)技術(shù)、商務(wù)、報價三項評分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行綜合評分的，按照綜合得分的高低進(jìn)行綜合排序，綜合排序高者中標(biāo)．

分值權(quán)重表如下：

總分

技術(shù)

商務(wù)

報價

100%

50%

10%

40%

技術(shù)標(biāo)、商務(wù)標(biāo)基本都是由公司的技術(shù)、資質(zhì)、資信等實力來決定的．報價表則相對靈活，報價標(biāo)的評分方法是：基準(zhǔn)價的基準(zhǔn)分是68分，若報價每高于基準(zhǔn)價1%，則在基準(zhǔn)分的基礎(chǔ)上扣0.8分，最低得分48分；若報價每低于基準(zhǔn)價1%，則在基準(zhǔn)分的基礎(chǔ)上加0.8分，最高得分為80分．若報價低于基準(zhǔn)價15%以上（不含15%）每再低1%，在80分在基礎(chǔ)上扣0.8分．

在某次招標(biāo)中，若基準(zhǔn)價為1000（萬元）．甲、乙兩公司綜合得分如下表：

公司

技術(shù)

商務(wù)

報價

甲

80分

90分

A甲分

乙

70分

100分

A乙分

甲公司報價為1100（萬元），乙公司的報價為800（萬元）則甲，乙公司的綜合得分，分別是（　�。�

A. 73，75.4B. 73，80C. 74.6，76D. 74.6，75.4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)A，B分別是雙曲線的左右頂點，設(shè)過的直線PA，PB與雙曲線分別交于點M，N，直線MN交x軸于點Q，過Q的直線交雙曲線的于S，T兩點，且，則的面積( )

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】等腰直角三角形中，，點在邊上，垂直交于，如圖①.將沿折起，使到達(dá)的位置，且使平面平面，連接，，如圖②.

（Ⅰ）若為的中點，，求證：；

（Ⅱ）若，當(dāng)三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓C經(jīng)過A（5，3），B（4，4）兩點，且圓心在x軸上.

（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線l過點（5，2），且被圓C所截得的弦長為6，求直線l的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知極坐標(biāo)系的極點在平面直角坐標(biāo)系的原點處，極軸與軸的非負(fù)半軸重合，且長度單位相同，直線的極坐標(biāo)方程為，曲線(為參數(shù)).其中.

(1)試寫出直線的直角坐標(biāo)方程及曲線的普通方程；

(2)若點為曲線上的動點，求點到直線距離的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】圖1是由菱形，平行四邊形和矩形組成的一個平面圖形，其中，，，，將其沿，折起使得與重合，如圖2．

（1）證明：圖2中的平面平面；

（2）求圖2中點到平面的距離；

（3）求圖2中二面角的余弦值．

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【題目】河北省高考改革后高中學(xué)生實施選課走班制,若某校學(xué)生選擇物理學(xué)科的人數(shù)為800人,高二期中測試后,由學(xué)生的物理成績,調(diào)研選課走班制學(xué)生的學(xué)習(xí)情況及效果,為此決定從這800人中抽取人,其頻率分布情況如下:

分?jǐn)?shù)

頻數(shù)

頻率

8

0.08

18

0.18

20

0.2

0.24

15

10

0.10

5

0.05

合計

1

(1)計算表格中,,的值;

(2)為了了解成績在,分?jǐn)?shù)段學(xué)生的情況,先決定利用分層抽樣的方法從這兩個分?jǐn)?shù)段中抽取6人,再從這6人中隨機抽取2人進(jìn)行面談,求2人來自不同分?jǐn)?shù)段的概率.

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