Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$-alnx（a∈R）．
（1）當a=-1時，求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）有唯一的零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞減區(qū)間即可；
（2）若函數(shù)f（x）有唯一的零點，等價于alnx=$\frac{1}{x}$有唯一的實根，構(gòu)造函數(shù)φ（x）=xlnx，研究函數(shù)的圖象求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）a=-1時，f（x）=$\frac{1}{x}$+lnx，（x＞0），
f′（x）=-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令f′（x）＜0，解得：x＜1，
故f（x）在（0，1）遞減；
（2）問題等價于alnx=$\frac{1}{x}$有唯一的實根，
顯然a≠0，則關(guān)于x的方程xlnx=$\frac{1}{a}$有唯一的實根•…（6分）
構(gòu)造函數(shù)φ（x）=xlnx，則φ'（x）=1+lnx，
由φ'（x）=1+lnx=0，得x=e^-1
當0＜x＜e^-1時，φ'（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減
當x＞e^-1時，φ'（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增
所以φ（x）的極小值為φ（e^-1）=-e^-1•…（8分）
如圖，作出函數(shù)φ（x）的大致圖象，

則要使方程xlnx=$\frac{1}{a}$的唯一的實根，
只需直線y=$\frac{1}{a}$與曲線y=φ（x）有唯一的交點，
則$\frac{1}{a}$=-e-1或$\frac{1}{a}$＞0，
解得：a=-e或a＞0，
故實數(shù)a的取值范圍是{-e}∪（0，+∞）…（12分）．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點，考查學(xué)生分析解決問題的能力，本題是一道綜合題．