Question

20．已知函數(shù)f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用降次公式和二倍角，輔助角公式化簡(jiǎn)，即可求出函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）根據(jù)化簡(jiǎn)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）當(dāng)x∈$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin²x+2sinxcosx+3cos²x．
化簡(jiǎn)可得：f（x）=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}$cos2x+sin2x+3×（$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$cos2x）=sin2x+cos2x+2=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+2
（1）數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$；
（2）由$2kπ+\frac{π}{2}≤$2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z．
可得：$kπ+\frac{π}{8}$≤x≤$kπ+\frac{5π}{8}$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為$[kπ+\frac{π}{8}，kπ+\frac{5π}{8}]k∈z$
（3）∵x∈$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$時(shí)，
可得2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]
當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{3π}{4}$時(shí)，f（x）取得最大值為：$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}+2$=3．
當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{5π}{4}$時(shí)，f（x）取得最小值為：$-\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}$+2=1．
故得當(dāng)x∈$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為3，最小值為1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．