Question

16．若函數(shù)$f（x）=\frac{x^3}{3}-\frac{a}{2}{x^2}+x+1$在區(qū)間$[\frac{1}{2}，3]$上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{10}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a≥x+$\frac{1}{x}$在區(qū)間$[\frac{1}{2}，3]$恒成立，構(gòu)造g（x）=x+$\frac{1}{x}$，x∈（$\frac{1}{2}$，3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=\frac{x^3}{3}-\frac{a}{2}{x^2}+x+1$，
∴f′（x）=x²-ax+1，
若函數(shù)f（x）在區(qū)間$[\frac{1}{2}，3]$上遞減，
故x²-ax+1≤0在區(qū)間$[\frac{1}{2}，3]$恒成立，
即a≥x+$\frac{1}{x}$在區(qū)間$[\frac{1}{2}，3]$恒成立，
令g（x）=x+$\frac{1}{x}$，x∈（$\frac{1}{2}$，3），
g′（x）=$\frac{（x+1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：x＜1，
∴g（x）在（$\frac{1}{2}$，1）遞減，在（1，3）遞增，
而g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{2}$，g（3）=$\frac{10}{3}$，
故a≥$\frac{10}{3}$
故答案為：[$\frac{10}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，函數(shù)恒成立問題的求解方法，是中檔題．