Question

8．定義域為{x|x≠0}的函數(shù)f（x）滿足：f（xy）=f（x）f（y），f（x）＞0且在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，若m滿足f（log₃m）+f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$m）≤2f（1），則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{1}{3}$，1）∪（1，3]
• B． [0，$\frac{1}{3}$）∪（1，3]
• C． （0，$\frac{1}{3}$]
• D． [1，3]

Answer 1

分析 由條件求得f（x）為偶函數(shù)，原不等式即為f（|log₃m|）≤f（1），由于f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，則由|log₃m|≤1，且log₃m≠0，解出即可．

解答 解：∵f（xy）=f（x）f（y），f（x）＞0則令x=y=1可得f（1）=f²（1），即有f（1）=1．
令x=y=-1，則f（1）=f²（-1）=1，則f（-1）=1．
令y=-1，則f（-x）=f（x）f（-1）=f（x），即有f（x）為偶函數(shù)．
由f（log₃m）+f（${log}_{\frac{1}{3}}m$）≤2f（1），可得 f（log₃m）+f（-log₃m）≤2f（1），
即2f（log₃m）≤2f（1），即 f（|log₃m|）≤f（1），
由于f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，則|log₃m|≤1，且log₃m≠0，
解得$\frac{1}{3}$≤m＜1或1＜m≤3．
故選：A．

點評 本題考查抽象函數(shù)及應(yīng)用，考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及運用，考查對數(shù)的運算，及解對數(shù)不等式的能力，屬于中檔題和易錯題．