Question

2．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a，b，c且有20a$\overrightarrow{BC}$+15b$\overrightarrow{CA}$+12c$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，則△ABC的形狀為（　�。�

• A． 銳角三角形
• B． 鈍角三角形
• C． 直角三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 由條件求得（20a-15b）$\overrightarrow{AC}$+（12c-20a）$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$．根據(jù)$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AB}$不共線，求得b=$\frac{4}{3}$a，c=$\frac{5}{3}$a，利用勾股定理即可判斷三角形的形狀．

解答 解：在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，
若20a$\overrightarrow{BC}$+15b$\overrightarrow{CA}$+12c$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$，
則20a（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）+15b$\overrightarrow{CA}$+12c$\overrightarrow{AB}$=（20a-15b）$\overrightarrow{AC}$+（12c-20a）$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{0}$．
∵$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AB}$不共線，故有20a-15b=0，12c-20a=0．
∴b=$\frac{4}{3}$a，c=$\frac{5}{3}$a，
∴可得：a²+b²=c²，即△ABC的形狀為直角三角形．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量基本定理與余弦定理的綜合應(yīng)用，求得b=$\frac{4}{3}$a，c=$\frac{5}{3}$a，是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．