Question

3．如圖，C，D兩處相距6000m，∠ACD=45°，∠ADC=75°，∠BDC=15°，∠BCD=30°，AD⊥BD，則點A到B的距離為（　�。�

• A． 1000$\sqrt{42}$m
• B． 1000$\sqrt{6}$m
• C． 1000$\sqrt{24}$m
• D． 1000m

Answer 1

分析 分別在△ACD和△BCD中使用正弦定理求出AD，BD，再使用勾股定理計算AB．

解答 解：在△ACD中，∵∠ACD=45°，∠ADC=75°，∴∠CAD=60°．
由正弦定理得$\frac{CD}{sin∠CAD}=\frac{AD}{sin∠ACD}$，即$\frac{6000}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{AD}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，解得AD=2000$\sqrt{6}$．
在△BCD中，∵∠BDC=15°，∠BCD=30°，∴∠CBD=135°．
由正弦定理得$\frac{CD}{sin∠CBD}=\frac{BD}{sin∠BCD}$，即$\frac{6000}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{BD}{\frac{1}{2}}$，解得BD=3000$\sqrt{2}$．
∵AD⊥BD，∴AB=$\sqrt{A{D}^{2}+B{D}^{2}}$=1000$\sqrt{42}$．
故選：A．

點評 本題考查了正弦定理，解三角形的應用，屬于中檔題．