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如圖，已知點A的坐標為（1，0），點P為圓（x+1）2+y2=16上任意一點，點C為圓心，線段PA的垂直平分線交PC于點B．
（1）求證：△ABC的周長為定值；
（2）求點B的軌跡方程．
考點：軌跡方程
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（1）直接由題意可得△ABC的周長為|BA|+|BC|+|AC|=|CP|+CA|=4+2=6定值；
（2）|BA|+|BC|=|CP|=4＞|CA|=2，點Q的軌跡是以C，A為焦點的橢圓，且得到長半軸和半焦距，再由b2=a2-c2求得b2，則點B的軌跡方程可求．
解答： 解：（1）依題意知：|BA|=|BP|，
∴△ABC的周長為|BA|+|BC|+|AC|=|CP|+CA|=4+2=6定值；
（2）|BA|+|BC|=|CP|=4＞|CA|=2，
∴點Q的軌跡是以C，A為焦點的橢圓，
a=2，c=1，b2=a2-c2=3，
∴所求橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1．
點評：本題考查了橢圓方程的求法，考查橢圓的定義，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖所示，為了測量某湖泊兩側A，B間的距離，某同學首先選定了與A，B不共線的一點C，然后給出了四種測量方案：（△ABC的角A，B，C所對的邊分別記為a，b，c）
①測量A，C，b．②測量a，b，C．③測量A，B，a．④測量a，b，B．
則一定能確定A，B間距離的所有方案的序號為（　　）
A、①②③B、②③④
C、①③④D、①②③④

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=ax2+bx+c，不等式f（x）≤0的解集為區(qū)間[0，2]，且f（x）在區(qū)間[0，3]上的最大值為3
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）回答下列問題（只需將答案填在橫線上，不必寫出解題過程）
①已知直線l：x-y+m=0與曲線C：y=f（x）（0≤x≤2）．若直線l與曲線段C有且只有一個交點，則m的取值范圍是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知傾斜角為
π
6
，過點P（1，1）的直線l與曲線C：
x=2sinα
y=2+2cosα
（α是參數）相交于A，B兩點．
（Ⅰ）寫出直線l的參數方程和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）求|PA|•|PB|的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知方程x2+y2-2（m+3）x+2（1-4m2）+16m4+9=0表示一個圓，求圓心的軌跡方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=x（ex+ae-x）（x∈R）是偶函數，二項式（x-
2a
x
）6的展開式中，x2項的系數為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

過點M（1，
2
）作圓O：x2+y2=4的兩條互相垂直的弦AB和CD，則四邊形ACBD的面積的最大值和最小值分別是
 
和
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=
2x3+3x2+1，x≤0
eax，x＞0
在[-2，2]上的最大值為2，則a的取值范圍是（　�。�
A、（-∞，
ln2
2
]
B、[
ln2
2
，+∞）
C、（-∞，0）
D、[0，
ln2
2
]

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科目：高中數學 來源： 題型：

下列命題中，錯誤的是（　　）
A、在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要條件
B、在銳角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立
C、在△ABC中，若acosA=bcosB，則△ABC必是等腰直角三角形
D、在△ABC中，若B=60°，b2=ac，則△ABC必是等邊三角形

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