Question

6．過橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的右焦點F任作一條傾斜角不等于90°的直線交該橢圓于M，N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于點P，則$\frac{{|{PF}|}}{{|{MN}|}}$=$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 設直線斜率為k，聯(lián)立方程組得出M，N兩點坐標的關系及M，N的中點坐標，求出|MN|及MN的中垂線方程，得出P點坐標，從而得出|PF|．

解答 解：橢圓的右焦點坐標為F（4，0）．
設直線MN的方程為y=k（x-4）．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，消元得：（9+25k²）x²-200k²x+25（16k²-9）=0．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為（x₀，y₀），
∴x₁+x₂=$\frac{200{k}^{2}}{9+25{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{25（{16k}^{2}-9）}{9+25{k}^{2}}$．
x₀=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=$\frac{100{k}^{2}}{9+25{k}^{2}}$，y₀=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）-4k=-$\frac{36k}{9+25{k}^{2}}$．
∴MN的中垂線方程為y+$\frac{36k}{9+25{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{100{k}^{2}}{9+25{k}^{2}}$），
令y=0，得x=-$\frac{36{k}^{2}}{9+25{k}^{2}}$+$\frac{100{k}^{2}}{9+25{k}^{2}}$=$\frac{64{k}^{2}}{9+25{k}^{2}}$．
∴|PF|=4-$\frac{64{k}^{2}}{9+25{k}^{2}}$=$\frac{36（1+{k}^{2}）}{9+25{k}^{2}}$．
又|MN|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{\frac{40000{k}^{4}}{（9+25{k}^{2}）^{2}}-\frac{100（16{k}^{2}-9）}{9+25{k}^{2}}}$=$\frac{90（1+{k}^{2}）}{9+25{k}^{2}}$．
∴$\frac{|PF|}{|MN|}$=$\frac{36}{90}$=$\frac{2}{5}$．
故答案為：$\frac{2}{5}$．

點評 本題考查了直線與橢圓的位置關系，弦長公式，屬于中檔題．