Question

14．已知直線l₁：$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立直角坐標(biāo)系，圓C₁：ρ²-2$\sqrt{3}$ρcosθ-4ρsinθ+6=0．
（1）求圓C₁的直角坐標(biāo)方程，直線l₁的極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)l₁與C₁的交點(diǎn)為M，N，求△C₁MN的面積．

Answer 1

分析 （1）$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$，將其代入C₁得圓C₁的直角坐標(biāo)方程．由直線l₁：$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}$（t為參數(shù)），消去參數(shù)可得y=$\sqrt{3}$x，可即可化為極坐標(biāo)方程．
（2）把$θ=\frac{π}{3}$代入可得${ρ^2}-3\sqrt{3}ρ+6=0$⇒$|{{ρ_1}-{ρ_2}}|=\sqrt{3}$，進(jìn)而得出面積．

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}x=ρcosθ\\ y=ρsinθ\end{array}\right.$，將其代入C₁得：${x^2}+{y^2}-2\sqrt{3}x-4y+6=0$，
∴圓C₁的直角坐標(biāo)方程為：${C_1}：{（x-\sqrt{3}）^2}+{（y-2）^2}=1$．
由直線l₁：$\left\{\begin{array}{l}x=t\\ y=\sqrt{3}t\end{array}$（t為參數(shù)），消去參數(shù)可得：y=$\sqrt{3}$x，可得$tanθ=\sqrt{3}⇒θ=\frac{π}{3}$（ρ∈R）．
∴直線l₁的極坐標(biāo)方程為：$θ=\frac{π}{3}$（ρ∈R）．
（2）$\left\{\begin{array}{l}θ=\frac{π}{3}\\{ρ^2}-2\sqrt{3}ρcosθ-4ρsinθ+6=0\end{array}\right.$，可得${ρ^2}-3\sqrt{3}ρ+6=0$⇒$|{{ρ_1}-{ρ_2}}|=\sqrt{3}$，
∴${S_{△{C_1}MN}}=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．