Question

5．如圖，BC為圓O的直徑，A為圓O上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線與圓O相切，且與線段BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D，E為線段AC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且ED∥AB．
（1）求證AC•AD=AB•CD；
（2）若DE=4，DC=5，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）證明△ABD∽△CAD，即可證明AC•AD=AB•CD；
（2）若DE=4，DC=5，求出CE=3，利用三角函數(shù)求AD的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵AD切圓O于點(diǎn)A，
∴∠B=∠CAD，
∵∠ADB=∠CDA，
∴△ABD∽△CAD，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AD}{CD}$，
∴AC•AD=AB•CD；
（2）解：∵BC是直徑，
∴∠BAC=90°，
∵ED∥AB，
∴∠DEC=∠BAC=90°，∠CDE=∠B，
∴∠CAD=∠CDE，
∵DE=4，DC=5，
∴CE=3，
∴sin∠CAD=$\frac{DE}{AD}$=sin∠CDE=$\frac{CE}{CD}$，
∴AD=$\frac{20}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查圓的切線的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．