Question

7．在某個旅游城市里，每年各個月份隨著游客數(shù)量的變化，從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)也會發(fā)生相應(yīng)的變化．由政府部門的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知，該城市每月從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)f（n）（單位：千人）可近似地用函數(shù)f（n）=Acos（ωn+φ）+k表示，其中n（n∈[1，12]，n∈N^*）表示月份（如n=1表示1月份），且A＞0，ω≠0．經(jīng)測算，在過去的一年中，f（n）=$\frac{3}{2}$cos[$\frac{π}{6}$（n+2）]+$\frac{28}{5}$．
（1）在過去的一年中，該城市哪個月份從事旅游服務(wù)的人數(shù)最少？最少時有多少人？
（2）在過去的一年中，該城市從幾月份到幾月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)持續(xù)增加？
（3）假設(shè)今年該城市的某個旅游景點因環(huán)境破壞嚴(yán)重而被迫關(guān)閉，那么在此期間，對于函數(shù)f（n）=Acos（ωn+φ）+k（A＞0，ω≠0）中的A，ω，φ，k四個量，哪個（或哪些）量的值最有可能減小，（忽略其他因素的影響）？試說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）利用余弦函數(shù)的最值，求得該城市哪個月份從事旅游服務(wù)的人數(shù)最少、以及此時的最小值．
（2）求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，從而得出結(jié)論．
（3）根據(jù)函數(shù)值的符號，求得哪個（或哪些）量的值最有可能減小．

解答 解：（1）∵n（n∈[1，12]，n∈N^*，在過去的一年中，每月從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)
f（n）=$\frac{3}{2}$cos[$\frac{π}{6}$（n+2）]+$\frac{28}{5}$．
當(dāng)n=4時，從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)f（n）=-$\frac{3}{2}$+$\frac{28}{5}$=$\frac{31}{10}$千人，為最小值．
（2）在過去的一年中，∵n（n∈[1，12]，n∈N^*，令2kπ+π≤$\frac{π}{6}$（n+2）≤2kπ+2π，
求得12k+4≤n≤12k+10，k∈Z，故函數(shù)f（n）的減區(qū)間為[12k+4，12k+10]，k∈Z．
即該城市從4月份到10月份從事旅游服務(wù)工作的人數(shù)持續(xù)增加．
（3）假設(shè)今年該城市的某個旅游景點因環(huán)境破壞嚴(yán)重而被迫關(guān)閉，那么在此期間，
對于函數(shù)f（n）=Acos（ωn+φ）+k（A＞0，ω≠0）中的A，ω，φ，k四個量，
k最有可能減小，因為當(dāng)k-A小于或等于零時，景區(qū)沒有旅客，景區(qū)被迫關(guān)閉．

點評 本題主要考查余弦函數(shù)的最值，余弦函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的值的符號，屬于中檔題．