Question

16．在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，直線l過(guò)點(diǎn)P（1，1），且傾斜角α=$\frac{π}{3}$．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ．
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由ρ²=x²+y²，ρsinθ=y，能求出圓C的直角坐標(biāo)方程，由直線l過(guò)點(diǎn)P（1，1），且傾斜角α=$\frac{π}{3}$，能求出直線l的參數(shù)方程．
（2）求出直線的參數(shù)方程代入圓C方程x²+y²-4y=0，能求出|PA|•|PB|．

解答 解：（1）∵ρ=4sinθ，
∴ρ²=4ρsinθ，則x²+y²-4y=0，…（3分）
即圓C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²-4y=0．…（4分）
（2）∵直線l過(guò)點(diǎn)P（1，1），且傾斜角α=$\frac{π}{3}$，
∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）．…（6分）
將該方程代入圓C方程x²+y²-4y=0，
得${t}^{2}+（1-\sqrt{3}）t-2=0$，t₁t₂=-2．…（9分）
即|PA|•|PB|=|t₁t₂|=2．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的直角坐標(biāo)方程的求法，考查兩線段乘積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的合理運(yùn)用．