Question

已知函數(shù)f（x）=

a1nx-x

x

在x=l處的切線與直線x-y+10=0平行．
（1）求a的值；
（2）若函數(shù)y=f（x）-m在區(qū)間[l，e²]上有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,函數(shù)的零點

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）先化簡f（x）=

a1nx-x

x

=

alnx

x

-1，從而求導(dǎo)f′（x）=

a 1 x x-alnx

x2

=a

1-lnx

x2

；從而得到f′（1）=a=1；解得．
（2）由（1）知，f（x）=

lnx

x

-1，x∈[l，e²]，f′（x）=

1-lnx

x2

；列表說明取值范圍，從而解得．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a1nx-x

x

=

alnx

x

-1；
∴f′（x）=

a 1 x x-alnx

x2

=a

1-lnx

x2

；
∵函數(shù)f（x）在x=l處的切線與直線x-y+10=0平行，
∴f′（1）=a=1；
故a=1；

（2）由（1）知，f（x）=

lnx

x

-1，x∈[l，e²]，
f′（x）=

1-lnx

x2

；
列表如下，

x	1	（1，e）	e	（e，e2）	e2
f′（x）	1	+	0	-
f（x）	-1	↑	極大值 1 e -1	↓	2 e2 -1

則當(dāng)函數(shù)y=f（x）-m在區(qū)間[l，e²]上有兩個零點時，實數(shù)m的取值范圍為
[

2

e2

-1，

1

e

-1）．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的零點的個數(shù)的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．