Question

已知{a_n}是等差數(shù)列，{b_n}是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13．
（1）求通項(xiàng)公式{a_n}和{b_n}；
（2）若c_n=

an

bn

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，聯(lián)立方程求得d和q，進(jìn)而可得{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式由等差和等比數(shù)列構(gòu)成，進(jìn)而可用錯(cuò)位相減法求得前n項(xiàng)和S_n．

解答： 解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則依題意有q＞0，
由已知得，

1+2d+q4=21 1+4d+q2=13

，解得d=2，q=2．
∴a_n=1+（n-1）d=2n-1，b_n=q^n-1=2^n-1；
（Ⅱ）c_n=

an

bn

=

2n-1

2n-1

，
Sn=

1

20

+

3

21

+

5

22

+…+

2n-3

2n-2

+

2n-1

2n-1

，①

1

2

Sn=

1

21

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，②
①-②得：

1

2

Sn=1+2(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)-

2n-1

2n

=1+2•

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n

=3-

1

2n-2

-

2n-1

2n

．
∴Sn=2-

1

2n-3

-

2n-1

2n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，是中檔題．