Question

4．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，圓C₂：x²+y²=2經(jīng)過橢圓C₁的焦點．
（1）求C₁的方程；
（2）過點M（-1，0）的直線l與曲線C₁，C₂自上而下依次交于點A，B，C，D，若$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CD}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意求得c，再由橢圓離心率求得a，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立直線方程和橢圓及圓的方程，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出A與D，B與C的縱坐標(biāo)的和，結(jié)合$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CD}$列式求得m值，則直線l的方程可求．

解答 解：（1）由題意，$c=\sqrt{2}$，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$a=\sqrt{6}$，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2，
∴C₁的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）設(shè)直線l的方程為x=my-1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去x，得（2m²+3）y²-4my-10=0．
設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{4m}{2{m}^{2}+3}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，消去x，得（m²+1）y²-2my-1=0．
設(shè)B（x₃，y₃），C（x₄，y₄），則${y}_{3}+{y}_{4}=\frac{2m}{{m}^{2}+1}$，
∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CD}$，
∴y₃-y₁=y₂-y₄，
從而y₁+y₂=y₃+y₄，即$\frac{4m}{2{m}^{2}+3}=\frac{2m}{{m}^{2}+1}$，解得m=0．
∴直線l的方程為x=-1．

點評 本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．