Question

8．已知n=${∫}_{0}^{6}$$\frac{1}{3}$xdx，則（$\frac{\sqrt{x}}{3}$-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）ⁿ的展開式中x²的系數(shù)為（　�。�

• A． -$\frac{4}{27}$
• B． -$\frac{2}{27}$
• C． $\frac{2}{27}$
• D． $\frac{4}{27}$

Answer 1

分析 求定積分得到n=6，代入二項(xiàng)式可得（$\frac{\sqrt{x}}{3}$-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）⁶，寫出展開式的通項(xiàng)T_r+1，由x的指數(shù)等于2求得r的值，則展開式中x²的系數(shù)可求．

解答 解：n=${∫}_{0}^{6}$$\frac{1}{3}$xdx=$\frac{1}{6}$x²|${\;}_{0}^{6}$=6，
則（$\frac{\sqrt{x}}{3}$-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）⁶的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{6}^{r}$（$\frac{\sqrt{x}}{3}$）^6-r（-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）^r
=${C}_{6}^{r}$（-1）^r3^2r-6x^3-r，r=0，1，2，…，6，
由3-r=2，可得r=1，
則展開式中x²的系數(shù)為${C}_{6}^{1}$（-1）•3^-4=-$\frac{2}{27}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，同時(shí)考查定積分的運(yùn)算，屬于中檔題．