Question

【題目】已知橢圓，右頂點，上頂點為B，左右焦點分別為，且，過點A作斜率為的直線l交橢圓于點D，交y軸于點E.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)P為的中點，是否存在定點Q，對于任意的都有？若存在，求出點Q；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合橢圓的性質(zhì)，得到，，從而得到橢圓的方程；

（2）解法一，首先設(shè)直線直線，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理以及中點坐標公式得到P點坐標，從而有，假設(shè)存在使得，利用向量數(shù)量積等于零，從而求得結(jié)果.解法二，利用點差法

（1）由題意得：

在中，，，

，，，

橢圓方程為

（2）解法一：設(shè)直線

令，則，

將*代入整理得

設(shè)，則，

，

設(shè)，為的中點

，

設(shè)存在使得，則，

，即對任意的都成立

，，存在使得

解法二：設(shè)，，

，① ，②

由①-②，得

為中點，

，

，

設(shè)存在使得，

則，即

對任意都成立，即，，

存在使得