【題目】已知二次函數(shù)y=f1(x)的圖象以原點為頂點且過點(1,1),反比例函數(shù)y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個交點間距離為8,f(x)= f1(x)+ f2(x).

(Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的表達式;

(Ⅱ) 證明:a>3,關于x的方程f(x)= f(a)有三個實數(shù)解.

【答案】() f(x)=x2+.() 見詳解

【解析】

試題(Ⅰ)由已知,f1(x)=ax2,f1(1)=1,a="1," ∴f1(x)= x2.f2(x)=(k>0),它的圖象與直線y=x的交點分別為A(,)B(,)

=8,k="8,." ∴f2(x)=.f(x)=x2+.

(Ⅱ) (證法一)f(x)=f(a),x2+=a2+,

=x2+a2+.在同一坐標系內(nèi)作出f2(x)=

f3(x)= x2+a2+的大致圖象,其中f2(x)的圖象是以坐

標軸為漸近線,且位于第一、三象限的雙曲線, f3(x)與的圖象是以(0, a2+)為頂點,開口向下的拋物線.因此, f2(x)f3(x)的圖象在第三象限有一個交點,f(x)=f(a)有一個負數(shù)解.∵f2(2)="4," f3(2)= 4+a2+,當a>3,. f3(2)f2(2)= a2+8>0,a>3,在第一象限f3(x)的圖象上存在一點(2,f(2))f2(x)圖象的上方.f2(x)f3(x)的圖象在第一象限有兩個交點,f(x)=f(a)有兩個正數(shù)解.因此,方程f(x)=f(a)有三個實數(shù)解.

(證法二)由f(x)=f(a),x2+=a2+,(xa)(x+a)=0,得方程的一個解x1=a.方程x+a=0化為ax2+a2x8=0,a>3,△=a4+32a>0,x2=, x3=,x2<0, x3>0, ∵x1≠ x2,x2≠ x3.x1= x3,a=,3a2=, a4=4a,a=0a=,這與a>3矛盾,∴x1≠ x3.故原方程f(x)=f(a)有三個實數(shù)解.

練習冊系列答案
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