【題目】已知二次函數(shù)y=f1(x)的圖象以原點為頂點且過點(1,1),反比例函數(shù)y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個交點間距離為8,f(x)= f1(x)+ f2(x).

(Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的表達式；

(Ⅱ) 證明:當a>3時,關于x的方程f(x)= f(a)有三個實數(shù)解.

【答案】(Ⅰ) f(x)=x2+.(Ⅱ) 見詳解

【解析】

試題(Ⅰ)由已知,設f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a="1," ∴f1(x)= x2.設f2(x)=(k>0),它的圖象與直線y=x的交點分別為A(,)，B(－,－)

由=8,得k="8,." ∴f2(x)=.故f(x)=x2+.

(Ⅱ) （證法一）f(x)=f(a),得x2+=a2+,

即=－x2+a2+.在同一坐標系內(nèi)作出f2(x)=和

f3(x)= －x2+a2+的大致圖象,其中f2(x)的圖象是以坐

標軸為漸近線,且位于第一、三象限的雙曲線, f3(x)與的圖象是以(0, a2+)為頂點,開口向下的拋物線.因此, f2(x)與f3(x)的圖象在第三象限有一個交點,即f(x)=f(a)有一個負數(shù)解.又∵f2(2)="4," f3(2)= －4+a2+，當a>3時,. f3(2)－f2(2)= a2+－8>0,當a>3時,在第一象限f3(x)的圖象上存在一點(2,f(2))在f2(x)圖象的上方.f2(x)與f3(x)的圖象在第一象限有兩個交點,即f(x)=f(a)有兩個正數(shù)解.因此,方程f(x)=f(a)有三個實數(shù)解.

（證法二）由f(x)=f(a),得x2+=a2+,即(x－a)(x+a－)=0,得方程的一個解x1=a.方程x+a－=0化為ax2+a2x－8=0,由a>3,△=a4+32a>0,得x2=, x3=,x2<0, x3>0, ∵x1≠ x2,且x2≠ x3.若x1= x3,即a=,則3a2=, a4=4a,得a=0或a=,這與a>3矛盾,∴x1≠ x3.故原方程f(x)=f(a)有三個實數(shù)解.

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