Question

【題目】已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），其中.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先求出，再對(duì)分類討論即得函數(shù)的單調(diào)性；

（2）求出，，轉(zhuǎn)化成證明成立，設(shè)，，則，轉(zhuǎn)化成證明成立，設(shè)，則，構(gòu)造函數(shù)，，證明，即成立，原題得證.

解：（1）的定義域，，，

方程，判別式，

當(dāng)時(shí)，，恒成立，

所以恒成立，函數(shù)在和上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，，令，得，，

因?yàn)?/span>，所以.

所以當(dāng)或或時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，，

所以在和和是增函數(shù)，在是減函數(shù).

綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.

（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且是方程的兩根，所以，且.

，，

所以，

，

所以，

又，

所以，要證成立，

即證成立，

因?yàn)榍?/span>，所以

即證成立，

設(shè)，，則，

只要證成立，

即證成立.

設(shè)，則，構(gòu)造函數(shù)，

則，所以在上單調(diào)遞增，

，即成立，

從而成立.