Question

20．設函數(shù)f（x）=$\frac{（1+a）{x}^{2}+1}{bx+c}$為奇函數(shù)，其中a，b，c∈Z，又滿足f（1）=3，5＜f（3）＜7．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用單調(diào)性定義，判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的增減性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（-x）=-f（x），求得c的值，再根據(jù)f（1）=3，5＜f（3）＜7，求得整數(shù)a、b的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）假設x₁＜x₂＜0，化簡f（x₁）-f（x₂），分類討論，求得它的單調(diào)性．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{（1+a）{x}^{2}+1}{bx+c}$為奇函數(shù)，其中a，b，c∈Z，
∴f（-x）=$\frac{{（1+a）•x}^{2}+1}{-bx+c}$=-f（x）=$\frac{{（1+a）x}^{2}+1}{-bx-c}$，∴c=0，f（x）=$\frac{{（1+a）•x}^{2}+1}{bx}$．
又滿足f（1）=$\frac{a+2}$=3，∴a=3b-2．
∵5＜f（3）＜7，∴5＜$\frac{9a+10}{3b}$＜7，即5＜$\frac{27b-8}{3b}$＜7，1＜$\frac{4}{3b}$＜2，∴b=1，∴a=3b-2=1．
故函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=$\frac{{2x}^{2}+1}{x}$=2x+$\frac{1}{x}$．
（2）假設x₁＜x₂＜0，則f（x₁）-f（x₂）=2x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-2x₂-$\frac{1}{{x}_{2}}$=2（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{{x}_{1}{•x}_{2}}$=（x₂-x₁）•（$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$-2），
當x₁＜x₂＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，x₁•x₂＞$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$＜2，∵x₂-x₁＞0，$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$-2＜0，∴（x₂-x₁）•（$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$-2）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），故函數(shù)f（x）在（-∞，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上單調(diào)遞增．
當-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤x₁＜x₂＜0時，x₁•x₂＜$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$＞2，∵x₂-x₁＞0，$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$-2＞0，∴（x₂-x₁）•（$\frac{1}{{x}_{1}{•x}_{2}}$-2）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），故函數(shù)f（x）在（-∞，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]上單調(diào)遞減．

點評 本題主要考查奇函數(shù)的定義求函數(shù)的解析式，用函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．