Question

12．請用多種方法證明不等式：（用一種方法得8分，兩種方法得14分，三種方法得16分．）
已知a，b∈（0，+∞），證明：$\frac{a}{{\sqrt}}$+$\frac{{\sqrt{a}}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt$．

Answer 1

分析 方法一：利用基本不等式，即可證明結(jié)論．
方法二：利用分析法，即可證明結(jié)論．
方法三：利用作差法，即可證明結(jié)論．

解答 證明：方法一：$\frac{a}{{\sqrt}}$+$\sqrt$≥2$\sqrt{a}$，$\frac{{\sqrt{a}}}$+$\sqrt{a}$≥2$\sqrt$，
∴$\frac{a}{{\sqrt}}$+$\sqrt$+$\frac{{\sqrt{a}}}$+$\sqrt{a}$≥2$\sqrt{a}$+$\sqrt$，
∴$\frac{a}{{\sqrt}}$+$\frac{{\sqrt{a}}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt$．
方法二：要證明$\frac{a}{{\sqrt}}$+$\frac{{\sqrt{a}}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt$，
只要證明$\frac{a}{{\sqrt}}$+$\sqrt$+$\frac{{\sqrt{a}}}$+$\sqrt{a}$≥2$\sqrt{a}$+$\sqrt$，
只要證明$\frac{a}{{\sqrt}}$+$\sqrt$≥2$\sqrt{a}$，$\frac{{\sqrt{a}}}$+$\sqrt{a}$≥2$\sqrt$，顯然成立，
∴$\frac{a}{{\sqrt}}$+$\frac{{\sqrt{a}}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt$．
方法三：$\frac{a}{{\sqrt}}$+$\frac{{\sqrt{a}}}$-$\sqrt{a}$-$\sqrt$=$\frac{a-b}{\sqrt}$+$\frac{b-a}{\sqrt{a}}$=$\frac{（a-b）（\sqrt{a}-\sqrt）}{\sqrt{ab}}$≥0，
∴$\frac{a}{{\sqrt}}$+$\frac{{\sqrt{a}}}$≥$\sqrt{a}$+$\sqrt$．

點評 本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運(yùn)用，比較基礎(chǔ)．