Question

已知等比數(shù)列{a_n}滿足：a₂+a₃+a₄=28，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增的，令b_n=a_nlog 

1

2

a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+n2ⁿ⁺¹＞50成立的正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合,等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由等差中項(xiàng)的性質(zhì)列出方程，代入a₂+a₃+a₄=28求出a₃=8，代入a₂+a₃+a₄=28得a₂+a₄=20，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公比即可求出a_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和題意求出b_n，利用錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出S_n，代入S_n+n2ⁿ⁺¹＞50化簡(jiǎn)，求出正整數(shù)n的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，
依題意有2（a₃+2）=a₂+a₄，代入a₂+a₃+a₄=28，可得a₃=8，
代入a₂+a₃+a₄=28得a₂+a₄=20，
∴

a1q2=8 a1q+a1q3=20

，解之得

q=2 a1=2

或

q= 1 2 a1=32

   
當(dāng)

q=2 a1=2

時(shí)，an=2n；    當(dāng)

q= 1 2 a1=32

時(shí)，an=

1

2n-6

．
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=2n或an=

1

2n-6

．            

（Ⅱ）∵等比數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增的，∴an=2n，
∴b_n=a_nlog 

1

2

a_n=2ⁿlog 

1

2

2ⁿ=-n•2ⁿ，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=-（1×2+1×2²+…+n•2ⁿ）①
2S_n=-[1×2²+1×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹]②，
由①-②得，S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹   
由S_n+n2ⁿ⁺¹＞50得，2ⁿ⁺¹-2＞50，則為2ⁿ⁺¹＞52，
易知：當(dāng)n≤4時(shí)，2ⁿ⁺¹≤2⁵=32＜52，當(dāng)n≥5時(shí)，2ⁿ⁺¹≥2⁶=64＞52，
故使S_n+n2ⁿ⁺¹＞50成立的正整數(shù)n的最小值為5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)公式，以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查方程思想和化簡(jiǎn)計(jì)算能力．