Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x

+log₂

1-x

1+x

，求函數(shù)f（x）的定義域，并討論它的奇偶性和單調(diào)性．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的定義域及其求法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)進行判斷即可．

解答： 解：要使函數(shù)有意義，則

1-x

1+x

＞0且x≠0．解得-1＜x＜1且x≠0，
即函數(shù)的定義域為（-1，0）∪（0，1）．
∵f（x）=

1

x

+log₂

1-x

1+x

．
∴f（x）+f（-x）=

1

x

+log₂

1-x

1+x

-

1

x

+log₂

1+x

1-x

=log₂（

1-x

1+x

．

1-x

1+x

）=log₂1=0．
則f（-x）=-f（x），則函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
研究函數(shù)在（0，1）上的單調(diào)性，設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，
則f（x₁）-f（x₂）=

1

x1

+log₂

1-x1

1+x1

-

1

x2

-log₂

1-x2

1+x2

=（

1

x1

-

1

x2

）+log₂（

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x1

），
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x1

-1=

2(x2-x1)

(1+x1)(1+x2)

＞0，
∴

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x1

＞1，
即log₂（

1-x1

1+x1

•

1+x2

1-x1

）＞0，
且

1

x1

-

1

x2

＞0，
即f（x₁）-f（x₂）＞0，
則f（x₁）＞f（x₂），
故函數(shù)在（0，1）上單調(diào)遞減．
∵函數(shù)是奇函數(shù)，
∴函數(shù)在（-1，0）上單調(diào)遞減．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．