Question

13．若存在正實數t，使得函數f（x）在給定區(qū)間M上，對于任意x∈M，有x+t∈M，且f（x+t）≥f（x），則f（x）稱為M上的t級類增函數，則下列命題正確的是（　�。�

• A． 函數f（x）=$\frac{4}{x}$+x是（1，+∞）上的1級類增函數
• B． 函數f（x）=|log₂（x-1）|是（1，+∞）上的1級類增函數
• C． 若函數f（x）=x²-3x為[0，+∞）上的t級類增函數，則實數t的取值范圍為[1，+∞）
• D． 若函數f（x）=sinx+ax為[$\frac{π}{2}$，+∞）上的$\frac{π}{3}$級類增函數，則整數a的最小值為1

Answer 1

分析 對于A，f（x+1）-f（x）=$\frac{{x}^{2}+x-4}{x（x+1）}≥$0在（1，+∞）上不恒成立，故A錯誤；對于B，f（x+1）-f（x）=|log₂x|-|log₂（x-1）|≥0在（1，+∞）上不恒成立，故B錯誤；對于C，由條件可知
，對任意x∈[0，+∞），有x+t∈[0，+∞），且f（x+t）≥f（x），即t≥3-2x在[0，+∞）上恒成立，再將恒成立問題轉為求函數的最值可得t≥3，故C錯誤；對于D，由條件可知，對任意x∈[$\frac{π}{2}$，+∞），由f（x+$\frac{π}{3}$）≥f（x），即$\frac{π}{3}a≥sin（x-\frac{π}{3}）$，而sin（x-$\frac{π}{3}$）≤1，從而a$≥\frac{3}{π}$，則最小整數值為1，故D正確．

解答 解：對于選項A：當x∈（1，2）時，f（x+1）-f（x）=$\frac{4}{x+1}+（x+1）-\frac{4}{x}-x$=$\frac{{x}^{2}+x-4}{x（x+1）}$＜0，即f（x+1）≥f（x）在（1，+∞）上不恒成立，故A錯誤；
對于選項B：f（x+1）-f（x）=|log₂x|-|log₂（x-1）|，當x=$\frac{3}{2}$時，f（x+1）-f（x）=$lo{g}_{2}\frac{3}{2}-|lo{g}_{2}\frac{1}{2}|=lo{g}_{2}\frac{3}{2}-1$＜0，即f（x+1）≥f（x）在（1，+∞）上不恒成立，故B錯誤；
對于選項C：∵函數f（x）=x²-3x為[0，+∞）上的t級類增函數，
∴對任意x∈[0，+∞），有x+t∈[0，+∞），且f（x+t）≥f（x），即（x+t）²-3（x+t）≥x²-3x，
∴對任意x∈[0，+∞），2tx+t²-3t≥0，即t≥3-2x
∵3-2x≤3，∴t≥3，即t的取值范圍為[3，+∞）．故C錯誤；
對于選項D：∵函數f（x）=sinx+ax為[$\frac{π}{2}$，+∞）上的$\frac{π}{3}$級類增函數，
∴對任意x∈[$\frac{π}{2}$，+∞），由f（x+$\frac{π}{3}$）≥f（x），即sin（x+$\frac{π}{3}$）+a（x+$\frac{π}{3}$）≥sinx+ax，
∴$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+ax+$\frac{π}{3}$a≥sinx+ax，即$\frac{π}{3}a$$≥\frac{1}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx
∵$\frac{1}{2}sinx-\frac{\sqrt{3}}{2}cosx=sin（x-\frac{π}{3}）$≤1
∴$\frac{π}{3}a≥1$，即a$≥\frac{3}{π}$
∴整數a的最小值為1，故D正確．
故選：D

點評 本題考查命題的真假判斷，考查新定義，同時考查函數的性質及應用，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．