Question

13．若存在正實(shí)數(shù)t，使得函數(shù)f（x）在給定區(qū)間M上，對于任意x∈M，有x+t∈M，且f（x+t）≥f（x），則f（x）稱為M上的t級類增函數(shù)，則下列命題正確的是（　�。�

• A． 函數(shù)f（x）=$\frac{4}{x}$+x是（1，+∞）上的1級類增函數(shù)
• B． 函數(shù)f（x）=|log₂（x-1）|是（1，+∞）上的1級類增函數(shù)
• C． 若函數(shù)f（x）=x²-3x為[0，+∞）上的t級類增函數(shù)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為[1，+∞）
• D． 若函數(shù)f（x）=sinx+ax為[$\frac{π}{2}$，+∞）上的$\frac{π}{3}$級類增函數(shù)，則整數(shù)a的最小值為1

Answer 1

分析 對于A，f（x+1）-f（x）=$\frac{{x}^{2}+x-4}{x（x+1）}≥$0在（1，+∞）上不恒成立，故A錯(cuò)誤；對于B，f（x+1）-f（x）=|log₂x|-|log₂（x-1）|≥0在（1，+∞）上不恒成立，故B錯(cuò)誤；對于C，由條件可知
，對任意x∈[0，+∞），有x+t∈[0，+∞），且f（x+t）≥f（x），即t≥3-2x在[0，+∞）上恒成立，再將恒成立問題轉(zhuǎn)為求函數(shù)的最值可得t≥3，故C錯(cuò)誤；對于D，由條件可知，對任意x∈[$\frac{π}{2}$，+∞），由f（x+$\frac{π}{3}$）≥f（x），即$\frac{π}{3}a≥sin（x-\frac{π}{3}）$，而sin（x-$\frac{π}{3}$）≤1，從而a$≥\frac{3}{π}$，則最小整數(shù)值為1，故D正確．

解答 解：對于選項(xiàng)A：當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f（x+1）-f（x）=$\frac{4}{x+1}+（x+1）-\frac{4}{x}-x$=$\frac{{x}^{2}+x-4}{x（x+1）}$＜0，即f（x+1）≥f（x）在（1，+∞）上不恒成立，故A錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)B：f（x+1）-f（x）=|log₂x|-|log₂（x-1）|，當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，f（x+1）-f（x）=$lo{g}_{2}\frac{3}{2}-|lo{g}_{2}\frac{1}{2}|=lo{g}_{2}\frac{3}{2}-1$＜0，即f（x+1）≥f（x）在（1，+∞）上不恒成立，故B錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)C：∵函數(shù)f（x）=x²-3x為[0，+∞）上的t級類增函數(shù)，
∴對任意x∈[0，+∞），有x+t∈[0，+∞），且f（x+t）≥f（x），即（x+t）²-3（x+t）≥x²-3x，
∴對任意x∈[0，+∞），2tx+t²-3t≥0，即t≥3-2x
∵3-2x≤3，∴t≥3，即t的取值范圍為[3，+∞）．故C錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)D：∵函數(shù)f（x）=sinx+ax為[$\frac{π}{2}$，+∞）上的$\frac{π}{3}$級類增函數(shù)，
∴對任意x∈[$\frac{π}{2}$，+∞），由f（x+$\frac{π}{3}$）≥f（x），即sin（x+$\frac{π}{3}$）+a（x+$\frac{π}{3}$）≥sinx+ax，
∴$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx+ax+$\frac{π}{3}$a≥sinx+ax，即$\frac{π}{3}a$$≥\frac{1}{2}$sinx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx
∵$\frac{1}{2}sinx-\frac{\sqrt{3}}{2}cosx=sin（x-\frac{π}{3}）$≤1
∴$\frac{π}{3}a≥1$，即a$≥\frac{3}{π}$
∴整數(shù)a的最小值為1，故D正確．
故選：D

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷，考查新定義，同時(shí)考查函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，是中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．