Question

18．已知函數(shù)f₁（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{1}{（1+x）^{2}}$（t-x），其中t為正常數(shù)．
（1）求函數(shù)f₁（x）在（0，+∞）上的最大值；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=$\frac{5}{3}$，3a_n+1=a_n+2，完成下面兩個(gè)問(wèn)題：
①求證：對(duì)?x＞0，$\frac{1}{{a}_{n}}$≥f${\;}_{\frac{2}{{3}^{n}}}$（x）（n∈N^*）；
②對(duì)?_n∈N*，你能否比較$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$與$\frac{{n}^{2}}{n+1}$的大�。咳裟�，請(qǐng)給予證明；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）把已知函數(shù)求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求得函數(shù)的最大值；
（2）①由已知數(shù)列遞推式可得數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，求其通項(xiàng)公式后可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，在求出f${\;}_{\frac{2}{{3}^{n}}}$（x）得最大值證得結(jié)論；
②由①可得對(duì)?x＞0，都有$\frac{1}{{a}_{n}}≥\frac{1}{1+x}-\frac{1}{（1+x）^{2}}（\frac{2}{{3}^{n}}-x）$，作和后放縮得答案．

解答 （1）解：由函數(shù)f₁（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{1}{（1+x）^{2}}$（t-x），得${f}_{1}′（x）=\frac{2（t-x）}{（1+x）^{3}}$，
由f₁′（x）＞0，得0＜x＜t，由f₁′（x）＜0，得x＞t，
則f₁（x）在（0，t）上為增函數(shù)，在（t，+∞）上為減函數(shù)，
∴${f}_{1}（x）_{max}={f}_{1}（t）=\frac{1}{1+t}$；
（2）①證明：由3a_n+1=a_n+2，得${a}_{n+1}-1=\frac{1}{3}（{a}_{n}-1）$，又a₁-1=$\frac{2}{3}$，
則數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，且${a}_{n}-1=\frac{2}{3}•（\frac{1}{3}）^{n-1}=\frac{2}{{3}^{n}}$，
∴${a}_{n}=\frac{2}{{3}^{n}}+1=\frac{2+{3}^{n}}{{3}^{n}}$，
由（1）知，${f}_{\frac{2}{{3}^{n}}}（x）_{max}$=f${\;}_{\frac{2}{{3}^{n}}}$（$\frac{2}{{3}^{n}}$）=$\frac{1}{1+\frac{2}{{3}^{n}}}=\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}+2}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴對(duì)?x＞0，$\frac{1}{{a}_{n}}$≥f${\;}_{\frac{2}{{3}^{n}}}$（x）（n∈N^*）；
②解：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＞$\frac{{n}^{2}}{n+1}$．
證明：由①知，對(duì)?x＞0，都有$\frac{1}{{a}_{n}}≥\frac{1}{1+x}-\frac{1}{（1+x）^{2}}（\frac{2}{{3}^{n}}-x）$，
于是，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$≥$\sum_{k=1}^{n}[\frac{1}{1+x}-\frac{1}{（1+x）^{2}}（\frac{2}{{3}^{k}}-x）]$=$\frac{n}{1+x}-\frac{1}{（1+x）^{2}}（\frac{2}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}+…+\frac{2}{{3}^{n}}-nx）$，
特別地，令$1-\frac{1}{{3}^{n}}-n{x}_{0}=0$，即${x}_{0}=\frac{1}{n}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$＞0，
有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$≥$\frac{n}{1+{x}_{0}}$=$\frac{n}{1+\frac{1}{n}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}$=$\frac{{n}^{2}}{n+1-\frac{1}{{3}^{n}}}$＞$\frac{{n}^{2}}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，訓(xùn)練了利用放縮法證明數(shù)列不等式，難度較大．