Question

已知函數(shù)f（x）=x|x-a|+2x，若存在a∈[-3，3]，使得關于x的方程f（x）=tf（a）有三個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)t的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：當-2≤a≤2時，f（x）在R上是增函數(shù)，則關于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個不等的實數(shù)根；當a∈（2，3]時和當a∈[-3，-2）時，等價轉化f（x）的表達式，利用函數(shù)的單調(diào)性能得到實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：當-2≤a≤2時，f（x）在R上是增函數(shù)，
則關于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三個不等的實數(shù)根，
則當a∈（2，3]時，由f（x）=

x2+(2-a)x，x≥a -x2+(2+a)x，x＜a

，
得x≥a時，f（x）=x²+（2-a）x，對稱軸x=

a-2

2

＜a，
則f（x）在x∈[a，+∞）為增函數(shù)，此時f（x）的值域為[f（a），+∞）=[2a，+∞），
x＜a時，f（x）=-x²+（2+a）x，對稱軸x=

a+2

2

＜a，
則f（x）在x∈（-∞，

a+2

2

]為增函數(shù)，此時f（x）的值域(-∞，

(a+2)2

4

]．
f（x）在x∈[

a+2

2

，a)上為減函數(shù)，此時f（x）的值域為（2a，

(a+2)2

4

]；
f（x）在[

a+2

2

，a)為減函數(shù)，此時f（x）的值域為(2a，

(a+2)2

4

]；
由存在a∈（2，3]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三個不相等的實根，
則2ta∈（2a，

(a+2)2

4

），
即存在a∈（2，3]，使得t∈(1，

(a+2)2

8a

)即可．
令g（a）=

(a+2)2

8a

=

1

8

(a+

4

a

+4)，
由題意，只需t＜g（a）_max即可，而g（a）在a∈（2，3]上是增函數(shù)，
所以g（a）_max=g（3）=

25

24

；故實數(shù)t的取值范圍是（1，

25

24

），
同理可求當a∈[-3，-2）時，t的取值范圍是（1，

25

24

）．
綜上可知，實數(shù)t的取值范圍是（1，

25

24

）．
故答案為（1，

25

24

）

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題的應用，考查運算求解能力，推理論證能力，考查轉化與化歸，分類討論思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對能力要求較高．