Question

在數(shù)列{a_n}，{b_n}中，a₁=3，b₁=5，a_n+1=

bn+4

2

，b_n+1=

an+4

2

（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{b_n-a_n}、{a_n+b_n}的通項公式．
（2）設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項的和，若對任意n∈N^*，都有p（S_n-4n）∈（[1，3]，求實數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）將已知的兩個關(guān)系式相加和相減，即可得到{a_n+b_n}與{b_n-a_n}的遞推式，從而求其通項；
（2）根據(jù)第一問的結(jié)果可求出{b_n}的通項，然后求和，然后利用不等式恒成立的思路求解．

解答： 解：（1）由a_n+1=

bn+4

2

，b_n+1=

an+4

2

兩式相減得：b_n+1-a_n+1=

an+4

2

-

bn+4

2

=-

1

2

（b_n-a_n），
則{b_n-a_n}是以-

1

2

為公比，b₁-a₁=5-3=2為首項的等比數(shù)列，
則b_n-a_n=2×（-

1

2

）^n-1，
由a_n+1=

bn+4

2

，b_n+1=

an+4

2

兩式相加得：
an+1+bn+1=

1

2

(an+bn)+4，即a_n+1+b_n+1-8=

1

2

（a_n+b_n-8），
∵a₁+b₁-8=3+5-8=0，
∴a₂+b₂-8=

1

2

（a₁+b₁-8）=0，
則a_n+1+b_n+1-8=

1

2

（a_n+b_n-8）=0，
即a_n+b_n=8，即數(shù)列{a_n+b_n}常數(shù)列，通項公式為a_n+b_n=8．
（2）∵b_n-a_n=2×（-

1

2

）^n-1，a_n+b_n=8，
∴解得b_n=（-

1

2

）^n-1+4，
則S_n=

1-(- 1 2 )n

1+ 1 2

+4n=

2

3

-

2

3

（-

1

2

）ⁿ+4n，
則S_n-4n=

2

3

-

2

3

（-

1

2

）ⁿ，
∵（-

1

2

）ⁿ∈[-0.5，0.25]，
∴S_n-4n=

2

3

-

2

3

（-

1

2

）ⁿ∈[0.5，1]，
∴p∈（[2，3]．

點評：本題主要考查數(shù)列通項公式的求解以及數(shù)列求和的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．