Question

6．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）以x=-2為準(zhǔn)線方程，過x軸上一定點(diǎn)P（3，0）作直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）拋物線C：y²=2px（p＞0）以x=-2為準(zhǔn)線方程，可得p=4，然后求解拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），利用平方差法求解軌跡方程即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）拋物線C：y²=2px（p＞0）以x=-2為準(zhǔn)線方程，
可得p=4，拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程y²=8x----（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
$\left\{\begin{array}{l}{{{y}_{1}}^{2}=8{x}_{1}}\\{{{y}_{2}}^{2}=8{x}_{2}}\end{array}\right.$    兩式作差得（y₁-y₂）（y₁+y₂）=8（x₁-x₂），
當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，有$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{8}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，${k}_{AB}=\frac{8}{2y}$=$\frac{y-0}{x-3}$，
∴y²=4x-12----（8分）
當(dāng)x₁=x₂時(shí)，即弦AB⊥x軸，又∵AB中的P（3，0），∴x₁=x₂=3，
此時(shí)弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0），經(jīng)驗(yàn)證滿足y²=4x-12
綜上所述，弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為y²=4x-12----（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，曲線的軌跡方程的求法，平方差法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．