Question

3．設(shè)x，y，z∈R，若x-2y+z=4．
（1）求x²+y²+z²的最小值；
（2）求x²+（y-1）²+z²的最小值．

Answer 1

分析 （1）（2）利用柯西不等式即可求解．

解答 解：（Ⅰ）由柯西不等式，
得：（x²+y²+z²）[1²+（-2）²+1²]≥（x-2y+z）²
即：6（x²+y²+z²）≥4²，
∴${x^2}+{y^2}+{z^2}≥\frac{8}{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{1}$時(shí)等號(hào)成立，
故：x²+y²+z²的最小值為$\frac{8}{3}$．
（Ⅱ）由柯西不等式，
得：[x²+（y-1）²+z²][1²+（-2）²+1²]≥（x-2y+2+z）²．
即：6[x²+（y-1）²+z²]≥6²，
∴x²+（y-1）²+z²≥6，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z}{1}$時(shí)等號(hào)成立，
故：x²+（y-1）²+z²的最小值為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了柯西不等式的運(yùn)用能力．屬于基礎(chǔ)題．