Question

15．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁的中點，F(xiàn)是AB的中點，AC=BC=1，AA₁=2．
（1）求證：CF∥平面AB₁E；
（2）求點C到平面AB₁E的距離．

Answer 1

分析 （1）取AB₁的中點G，聯(lián)結(jié)EG，F(xiàn)G，易證四邊形FGEC是平行四邊形，利用線面平行的判定定理即可證得CF∥平面AB₁E；
（2）依題意，可證得AC⊥BB₁，進(jìn)而可證AC⊥平面EB₁C，結(jié)合已知，利用等體積，即可求得點C到平面AB₁E的距離．

解答 （1）證明：取AB₁的中點G，聯(lián)結(jié)EG，F(xiàn)G，
∵F、G分別是AB、AB₁中點，
∴FG∥BB₁，F(xiàn)G=$\frac{1}{2}$BB₁，
∵E為側(cè)棱CC₁的中點，
∴FG∥EC，F(xiàn)G=EC，
所以四邊形FGEC是平行四邊形，…（4分）
∴CF∥EG，
∵CF?平面AB₁E，EG?平面AB₁E，
∴CF∥平面AB₁E．…（6分）
（2）解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，
∴BB₁⊥面ABC．
又∵AC?平面ABC，
∴AC⊥BB₁，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，BB₁∩BC=B．
∴AC⊥平面EB₁C，
∴AC⊥CB₁…（8分）
∴${V}_{A-E{B}_{1}C}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{1}{6}$．…（10分）
∵AE=EB₁=$\sqrt{2}$，AB₁=$\sqrt{6}$，
∴${S}_{△A{B}_{1}E}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
設(shè)點C到平面AB₁E的距離為h，則$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}h=\frac{1}{6}$，∴h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（12分）

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查線面垂直的性質(zhì)，考查三棱錐的體積輪換公式的運用，考查推理證明與運算能力，屬于中檔題．