分析 (I)圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為${ρ^2}=\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$,即3ρ2+(ρsinθ)2=12,利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程.利用斜率計算公式可得${k}_{A{F}_{2}}$.利用點斜式可得要求的直線方程.
(II)由(I)可得直線的參數(shù)方程為:$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$(t為參數(shù)).代入橢圓方程可得:5t2-4t-12=0,利用|F1M|•|F1N|=|t1t2|即可得出.
解答 解:(I)圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為${ρ^2}=\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$,即3ρ2+(ρsinθ)2=12,可得直角坐標(biāo)方程:3x2+4y2=12,
即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1.∴F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0).
${k}_{A{F}_{2}}$=$\frac{-\sqrt{3}-0}{0-1}$=$\sqrt{3}$.
∴要求的直線方程為:y=$\sqrt{3}$(x+1).
(II)由(I)可得直線的參數(shù)方程為:$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$(t為參數(shù)).
代入橢圓方程可得:5t2-4t-12=0,
∴t1t2=-$\frac{12}{5}$.
∴|F1M|•|F1N|=|t1t2|=$\frac{12}{5}$.
點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的點斜式、直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題
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A. | 5377 | B. | -5377 | C. | 5375 | D. | -5375 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{2}{3}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | 無法確定 |
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A. | ∅ | B. | {(4,0),(0,3)} | C. | {4,3} | D. | [-4,4] |
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