14.已知在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為${ρ^2}=\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$,定點$A(0,-\sqrt{3})$,F(xiàn)1,F(xiàn)2是圓錐曲線C的左、右焦點.直線經(jīng)過點F1且平行于直線AF2
(Ⅰ)求圓錐曲線C和直線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線與圓錐曲線C交于M,N兩點,求|F1M|•|F1N|.

分析 (I)圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為${ρ^2}=\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$,即3ρ2+(ρsinθ)2=12,利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程.利用斜率計算公式可得${k}_{A{F}_{2}}$.利用點斜式可得要求的直線方程.
(II)由(I)可得直線的參數(shù)方程為:$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$(t為參數(shù)).代入橢圓方程可得:5t2-4t-12=0,利用|F1M|•|F1N|=|t1t2|即可得出.

解答 解:(I)圓錐曲線C的極坐標(biāo)方程為${ρ^2}=\frac{12}{{3+{{sin}^2}θ}}$,即3ρ2+(ρsinθ)2=12,可得直角坐標(biāo)方程:3x2+4y2=12,
即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1.∴F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0).
${k}_{A{F}_{2}}$=$\frac{-\sqrt{3}-0}{0-1}$=$\sqrt{3}$.
∴要求的直線方程為:y=$\sqrt{3}$(x+1).
(II)由(I)可得直線的參數(shù)方程為:$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$(t為參數(shù)).
代入橢圓方程可得:5t2-4t-12=0,
∴t1t2=-$\frac{12}{5}$.
∴|F1M|•|F1N|=|t1t2|=$\frac{12}{5}$.

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的點斜式、直線的參數(shù)方程及其應(yīng)用,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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